ЭКЗАМЕН ВТОРОЙ СЕМЕСТР
1. Прямая в R2, прямая и плоскость в R3.
1.1. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в R2.
1.2. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в R3.
1.3. Параметрическое и каноническое уравнение плоскости в R3.
1.4. Взаимное расположение прямых, плоскостей и точек в R3.
1.5. Проектирование точки и прямой на плоскость, точки на прямую.
1.6. Угол между двумя плоскостями, угол между прямой и плоскостью.
1.7. Расстояния между прямыми, плоскостями и точками в R3.
2. Векторные подпространства.
2.1. Определение векторного подпространства.
2.2. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
2.3. Дополнение линейно независимой системы до базиса. Теорема Штейница о замене.
2.4. Теорема о базисном миноре.
2.5. Сумма и пересечение подпространств.
2.6. Определение прямой суммы.
2.7. Параллельное проектирование на подпространство.
2.8. Теоремы о прямой сумме и нулевом пересечении подпространств для двух и более подпространств.
2.9. Теорема о базисе прямой суммы подпространств.
2.10. Формула Грассмана.
2.11. Теорема о существовании прямого дополнения к подпространству.
3. Точечно-векторные пространства.
3.1. Определение точечно-векторного пространства.
3.2. Определение радиус вектора.
3.3. Определение аффинной системы координат и координат точки в аффинной системе координат.
3.4. Определение выпуклой комбинации и выпуклой оболочки множества точек.
3.5. Определения точечно-векторного подпространства, линейного многообразия, направляющего подпространства.
3.6. Параметрическое задание линейного многообразия.
3.7. Теорема об общем уравнении линейного многообразия, 2 ее следствия.
4. Евклидовы векторные пространства.
4.1. Определение евклидова векторного пространства. Свойства скалярного произведения.
4.2. Понятия длины вектора, ортогональных векторов, угла между векторами.
4.3. Векторный вариант теоремы Пифагора.
4.4. Неравенство Коши-Буняковского.
4.5. Понятия ортогональной, нормированной, ортонормированной систем векторов.
4.6. Теорема о линейной независимости ортогональной системы векторов.
4.7. Теорема об ортонормированном базисе евклидова векторного пространства.Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
4.8. Теорема о вычислении скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе.
4.9. Понятие ортогональности вектора и подпространства, двух подпространств.
4.10. Понятия ортогональной суммы и ортогонального дополнения.
4.11. Теорема о нахождении ортогонального дополнения к подпространству.
4.12. Понятие ортогональной проекции вектора на подпространство.
5. Линейные операторы.
5.1. Понятия линейного отображения и линейного оператора.
5.2. Определение линейного отображения на базисе векторного пространства.
5.3. Понятие матрицы линейного отображения.
5.4. Теорема об основном свойстве линейного отображения и его матрицы.
5.5. Теорема о вычислении матрицы линейного отображения (оператора) при изменении базиса векторного пространства.
5.6. Определитель матрицы линейного отображения. Его независимость от выбора базиса векторного пространства.
5.7. Понятие образа и ядра линейного отображения.
5.8. Теорема о 3-х свойства образа и ядра линейного отображения.
5.9. Понятие ранга и дефекта линейного отображения. Теорема о связи понятий ранга и дефекта линейного отображения.
5.10. Понятие инвариантного подпространства линейного оператора.
5.11. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного оператора.
5.12. Понятие собственного подпространства линейного оператора, соответствующего собственному значению.
5.13. Понятия характеристической матрицы и характеристического многочлена линейного оператора.
5.14. Теорема о независимости характеристического многочлена от выбора базиса векторного пространства.
5.15. Теорема о нахождении собственных значений линейного оператора как корней его характеристического многочлена.
5.16. Теорема о нахождении собственного подпространства, соответствующего собственному значению λ 0, как ядра оператора (A-λ 0E).
5.17. Понятия следа и главных миноров квадратной матрицы. Теорема о вычислении характеристического многочлена через главные миноры матрицы линейного оператора.
5.18. Понятие алгебраической и геометрической кратности собственного значения линейного оператора. Теорема о связи понятий алгебраической и геометрической кратности собственного значения линейного оператора.
5.19. Теорема о прямой сумме собственных подпространств (о линейной независимости собственных векторов).
5.20. Понятие диагонализируемого линейного оператора. Теорема о матрице линейного оператора в базисе из собственных векторов.
5.21. Понятие корневого вектора и корневого подпространства.
5.22. Понятие серии, определяемой корневым вектором. Понятие циклического подпространства. Теорема о линейной независимости серии, определяемой корневым вектором.
5.23. Определение жордановой клетки и жордановой нормальной формы матрицы (жордановой матрицы). Теоремы о существовании и единственности жордановой нормальной формы матрицы.
5.24. Теоремы о смысле алгебраической и геометрической кратности собственного значения линейного оператора.
5.25. Алгоритм нахождения жорданова базиса и жордановой нормальной формы матрицы.
6. Билинейные и квадратичные формы.
6.1. Определение билинейной функции.
6.2. Определение матрицы билинейной функции. Теорема об основном свойстве билинейной функции и ее матрицы. Понятие билинейной формы.
6.3. Теорема о вычислении матрицы билинейной функции при изменении базиса векторного пространства. Определение конгруэнтных матриц.
6.4. Понятие ранга билинейной функции и невырожденной билинейной функции. Теорема о независимости ранга билинейной функции от выбора базиса векторного пространства.
6.5. Определение симметрической билинейной функции. Теорема о матрице симметрической билинейной функции.
6.6. Определение квадратичной формы. Понятие матрицы и ранга квадратичной формы.
6.7. Теорема о биективности отображения множества симметрических билинейных функций на множество квадратичных форм.
6.8. Определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Теорема о существовании базиса в котором квадратичная форма имеет канонический/нормальный вид. Метод Лагранжа.
6.9. Определение положительного и отрицательного индексов инерции, сигнатуры. Закон инерции Сильвестра.
6.10. Определение положительно/отрицательно определенной, полуопределенной квадратичных форм.
6.11. Теорема о связи положительной/отрицательной определенности квадратичной формы с индексами инерции. Критерий Сильвестра.
6.12. Билинейные и квадратичные формы на евклидовых векторных пространствах. 3 леммы о связи билинейных функций и линейных операторов.
6.13. Теорема о приведении квадратичной формы к главным осям. Свойства собственных векторов симметрической матрицы. Спектральная теорема.
6.14. Определение гиперповерхности второго порядка.
6.15. Теорема о приведении уравнения второго порядка к каноническому виду в прямоугольной системе координат.
7. Поверхности второго порядка.
7.1. Уравнения эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов, конуса и цилиндров второго порядка.
7.2. Уметь исследовать форму поверхности второго порядка по каноническому уравнению.
7.3. Уметь строить сечение поверхности второго порядка произвольной плоскостью.
ЭКЗАМЕН ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
1. Отображения.
1.1. Понятие отображения.
1.2. Сюръекция, инъекция и биекция.
1.3. Отображение и мощность множества.
1.4. Произведение отображений. Ассоциативность произведения отображений.
1.5. Обратное отображение. Условие существования обратного отображения.
2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
2.1. Понятие СЛАУ.
2.2. Совместные/несовместные, определенные/неопределенные СЛАУ.
2.3. Расширенная матрица системы.
2.4. Элементарные преобразования над строками матрицы. Эквивалентность систем, полученных с помощью элементарных преобразований.
2.5. Метод Гаусса.
2.6. Условия совместности и определенности СЛАУ.
2.7. Правило нахождения общего решения.
3. Комплексные числа.
3.1. Множество комплексных чисел и операции на нем.
3.2. Действительная и мнимая части комплексного числа. Комплексно сопряженное число. Модуль и аргумент комплексного числа.
3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Ее применение для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней из комплексных чисел. Формула Муавра.
3.4. Представление множеств комплексных чисел на плоскости.
4. Матрицы.
4.1. Понятия матрицы, нулевой матрицы, единичной матрицы.
4.2. Операции над матрицами: сложение, умножение, транспонирование.
4.3. Свойства операций над матрицами.
4.4. Матричная запись СЛАУ.
4.5. Матричные уравнения.
4.6. Понятие обратной матрицы.
5. Кольца и поля.
5.1. Понятие бинарной операции.
5.2. Ассоциативная и коммутативная операции.
5.3. Нейтральный и симметричный элементы. Их единственность.
5.4. Понятие кольца, поля; подкольца, подполя.
5.5. Характеристика поля. Делители нуля. Нильпотентные элементы.
5.6. Конечные поля. Кольца и поля вычетов. Модульная арифметика.
6. Определитель.
6.1. Понятия определителя, минора, алгебраического дополнения.
6.2. Правило Саррюса.
6.3. Формула Лапласа. Рекурсивное разложение определителя по строке/столбцу.
6.4. Определитель транспонированной матрицы.
6.5. Определитель и элементарные преобразования над строками матрицы.
6.6. Определитель верхнетреугольной / нижнетреугольной матрицы. Вычисление определителя методом Гаусса.
6.7. Определитель блочной матрицы.
6.8. Комбинаторная формула Лейбница вычисления определителя.
6.9. Определитель суммы и произведения матриц.
6.10. Вычисление определителя с помощью рекуррентных соотношений.
6.11. Правило Крамера.
6.12. Невырожденная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя.
6.13. Определитель Вандермонда.
7. Ранг матрицы.
7.1. Миноры и дополнительные миноры i-того порядка.
7.2. Ранг матрицы, базисный минор.
7.3. Ранг матрицы и элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы.
7.4. Ранг матрицы и транспонирование.
7.5. Ранг ступенчатой матрицы. Теорема о вычислении ранга матрицы методом Гаусса.
7.6. Окаймляющие миноры. Теорема о вычислении ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
7.7. Теорема Кронекера-Капелли.
7.8. Теорема о решении совместной СЛАУ с помощью определителя.
8. Векторная геометрия в R2 и R3.
8.1. Вектора в R2 и R3. Операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число, сопоставление вектора двум точкам, откладывание вектора от точки.
8.2. Коллинеарные и компланарные вектора.
8.3. Базис в R2 и R3. Аффинная система координат.
8.4. Скалярное произведение векторов. Свойства и приложения скалярного произведения.
8.5. Векторное произведение. Свойства и приложения векторного произведения. Ориентация пространства.
8.6. Смешанное произведение. Свойства и приложения смешанного произведения. Ориентированные площадь и объем. Геометрический смысл определителей порядка <= 3 .
9. Кривые второго порядка на плоскости.
9.1. Эллипс. Каноническое уравнение и определение эллипса. Полуоси, фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса.
9.2. Гипербола. Каноническое уравнение и определение гиперболы. Полуоси, асимптоты, фокусы, эксцентриситет, директрисы гиперболы.
9.3. Парабола. Каноническое уравнение и определение параболы. Фокус и директриса параболы.
9.4. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
10. Многочлены.
10.1. Множество многочленов от одной переменной над полем.
10.2. Степень многочлена.
10.3. Сложение и умножение многочленов.
10.4. Теорема о множестве многочленов как области (области целостности).
10.5. Теорема о деление многочлена с остатком.
10.6. Наибольший общий делитель. Теорема о существовании наибольшего общего делителя для многочленов. Алгоритм Эвклида. Коэффициенты Безу.
10.7. Понятие корня многочлена.
10.8. Теорема Безу.
10.9. Схема Горнера.
10.10. Производная многочлена. Ряд Тейлора. Теорема о производной многочлена и кратных корнях.
10.11. Алгебраически замкнутые поля. Основная теорема алгебры.
10.12. Приводимые и неприводимые многочлены. Разложение многочлена на неприводимые сомножители над полями действительных и комплексных чисел.
10.13. Задача интерполяции. Существование и единственность решения. Многочлен Лагранжа.
10.14. Формулы Виета.
10.15. Теорема о корнях многочлена с рациональными коэффициентами.
11. Векторные пространства.
11.1. Понятие векторного пространства над полем. Замкнутость относительно операций. Аксиомы векторного пространства.
11.2. Понятие векторного подпространства.
11.3. Система векторов. Линейная комбинация системы векторов.
11.4. Линейно зависимая система векторов.
11.5. Линейно независимая система векторов.
11.6. Линейная оболочка системы векторов.
11.7. Теорема об основном свойстве линейно зависимой системы.
11.8. Теорема об основном свойстве линейно независимой системы.
11.9. Понятие размерности векторного пространства. Конечномерные и бесконечномерные векторные пространства.
11.10. Базис векторного пространства. Координаты вектора.
11.11. Теорема о связи понятий размерности и базиса.
11.12. Понятие матрицы перехода. Теорема об основном свойстве матрицы перехода.
11.13. Теорема о геометрическом смысле ранга матрицы.
Добавление пропущеных пунктов на сайт не планируется.
/* Нашли ошибку? Хотите дополнить/поправить то, что есть или добавить новое? Пишите в комментарии или на почту! */
© 2012-2014 Elisey-ka.RU | *Log обновлений* | Матан-матанчик | Принцесса Сисси | Дискротека | Math Logic | Оффлайн версия сайта | thesuddenmail@gmail.com